正三角形ABCにおいて、辺BCの長さが4であり、点DがBCの中点であるとき、高さADの長さを求めよ。答えの形式は、$[\text{ア}]\sqrt{[\text{イ}]}$である。

1. 問題の内容

正三角形ABCにおいて、辺BCの長さが4であり、点DがBCの中点であるとき、高さADの長さを求めよ。答えの形式は、$[\text{ア}]\sqrt{[\text{イ}]}$である。

2. 解き方の手順

まず、正三角形の性質から、AB = BC = CA = 4である。

DはBCの中点なので、BD = CD = BC/2 = 4/2 = 2である。

三角形ABDは直角三角形であり、三平方の定理が適用できる。

AB^2 = AD^2 + BD^2が成り立つので、

$4^2 = AD^2 + 2^2$

$16 = AD^2 + 4$

$AD^2 = 16 - 4 = 12$

$AD = \sqrt{12}$

$AD = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

したがって、高さADは、$2\sqrt{3}$である。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 3