正方形ABCDにおいて、各頂点からそれぞれ長さ$a$、長さ$b$の点を取り、隣り合う点同士を結んでできる図形（影のついた部分）の面積を、$a$と$b$を用いて表す。ただし、正方形ABCDの一辺の長さは$a+b$である。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、各頂点からそれぞれ長さ$a$、長さ$b$の点を取り、隣り合う点同士を結んでできる図形（影のついた部分）の面積を、$a$と$b$を用いて表す。ただし、正方形ABCDの一辺の長さは$a+b$である。

2. 解き方の手順

まず、正方形ABCDの面積を求める。

正方形ABCDの面積は、$(a+b)^2$である。

次に、正方形ABCDの4つの角にある直角三角形の面積を求める。

各直角三角形の面積は、$\frac{1}{2}ab$である。

直角三角形は4つあるので、4つの直角三角形の合計面積は、$4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$である。

影のついた部分の面積は、正方形ABCDの面積から4つの直角三角形の合計面積を引いたものである。

したがって、影のついた部分の面積は、$(a+b)^2 - 2ab$である。

$(a+b)^2$を展開すると、$a^2 + 2ab + b^2$となるので、

$(a+b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$となる。

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2$