$AB = AC = 10$ の二等辺三角形$ABC$ があり、辺$BC$の中点を$M$とすると、$AM = 4\sqrt{5}$である。$\triangle ABM$の外接円と辺$AC$の交点のうち、$A$でない方を$D$とする。 (1) 線分$BM$の長さを求めよ。 (2) 線分$CD$の長さを求めよ。 (3) 線分$AM$、$BD$の交点を$E$とするとき、線分$BE$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$AB = AC = 10$ の二等辺三角形$ABC$ があり、辺$BC$の中点を$M$とすると、$AM = 4\sqrt{5}$である。$\triangle ABM$の外接円と辺$AC$の交点のうち、$A$でない方を$D$とする。

(1) 線分$BM$の長さを求めよ。

(2) 線分$CD$の長さを求めよ。

(3) 線分$AM$、$BD$の交点を$E$とするとき、線分$BE$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $BM$の長さを求める。

$\triangle ABM$において、三平方の定理より、$AB^2 = AM^2 + BM^2$が成り立つ。

$10^2 = (4\sqrt{5})^2 + BM^2$

$100 = 16 \cdot 5 + BM^2$

$100 = 80 + BM^2$

$BM^2 = 20$

$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) $CD$の長さを求める。

円周角の定理より、$\angle ADB = \angle AMB = 90^{\circ}$。よって、$\triangle ADC$は$\angle D = 90^{\circ}$の直角三角形。

四角形$ABMD$は円に内接するので、$\angle AMD + \angle ABD = 180^{\circ}$。$\angle AMD = 90^{\circ}$より、$\angle ABD = 90^{\circ}$。

$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$BM = MC = 2\sqrt{5}$。よって、$BC = 4\sqrt{5}$。

$\triangle ABD$において$\angle ABD = 90^{\circ}$であるから、$AD^2 + BD^2 = AB^2 = 10^2 = 100$。

$CD = x$とすると、$AD = 10-x$。

方べきの定理より、$CD \cdot CA = CM \cdot CB$

$x \cdot 10 = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}$

$10x = 40$

$x = 4$

したがって、$CD = 4$

(3) $BE$の長さを求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DME$（対頂角と$\angle BAE = \angle MDE$より二角相等）

$AM = 4\sqrt{5}$、$BM = 2\sqrt{5}$、$CD = 4$なので、$AD = AC - CD = 10-4 = 6$

$\triangle ABM$と直線$BD$について、メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BM} \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{6}{4} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$3 \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$3ME = EA$

$EA = 3ME$

$AM = AE + EM = 3ME + ME = 4ME = 4\sqrt{5}$

$ME = \sqrt{5}$

$AE = 3\sqrt{5}$

$\triangle BME \sim \triangle DAE$

したがって、$BE : DE = ME : AE = \sqrt{5} : 3\sqrt{5} = 1:3$

$\triangle ABM$において、$AE:EM=3\sqrt{5}:\sqrt{5}=3:1$

$\angle ABE = \angle DBE = \angle DBC$だから、$BE$は$\angle ABC$の二等分線。

$AE:EC = BA:BC$より、$AE:EC = 10:4\sqrt{5} = 5:2\sqrt{5}$

$AE+EC = AC = 10$より、$AE=\frac{5}{5+2\sqrt{5}}*10=\frac{50}{5+2\sqrt{5}}=\frac{50(5-2\sqrt{5})}{25-20}=10(5-2\sqrt{5})=50-20\sqrt{5}$

直線$BD$は$AM$と点$E$で交わるから、$\triangle ABE \sim \triangle DME$より、$BE/DE=AE/ME$

$\angle EAB = \angle EDM$,$\angle BEA = \angle DEM$より$\triangle ABE \sim \triangle DME$

$\triangle BEM$は直角三角形なので、$BE^2 = BM^2 + ME^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$

$BE = 5$

3. 最終的な答え

(1) $BM = 2\sqrt{5}$

(2) $CD = 4$

(3) $BE = 5$