三角形ABCにおいて、$b = 5$, $B = 45^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

## 問題120A (1)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 5$, $B = 45^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、各辺の長さを$a, b, c$、各角の大きさを$A, B, C$、外接円の半径を$R$とするとき、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

が成り立つというものである。

今回は、$b$と$B$が与えられているので、

$$\frac{b}{\sin B} = 2R$$

より、$R$を求める。

$b = 5$, $B = 45^\circ$を代入すると、

$$\frac{5}{\sin 45^\circ} = 2R$$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$より、

$$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$

$$\frac{10}{\sqrt{2}} = 2R$$

$$R = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

3. 最終的な答え

$R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

## 問題120A (2)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c = 10$, $C = 60^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$$\frac{c}{\sin C} = 2R$$

$c = 10$, $C = 60^\circ$を代入すると、

$$\frac{10}{\sin 60^\circ} = 2R$$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$より、

$$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$

$$\frac{20}{\sqrt{3}} = 2R$$

$$R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

3. 最終的な答え

$R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

## 問題120A (3)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 3$, $A = 120^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$

$a = 3$, $A = 120^\circ$を代入すると、

$$\frac{3}{\sin 120^\circ} = 2R$$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$より、

$$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = 2R$$

$$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$R = \sqrt{3}$

## 問題120B (1)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c = \sqrt{3}$, $C = 150^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$$\frac{c}{\sin C} = 2R$$

$c = \sqrt{3}$, $C = 150^\circ$を代入すると、

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin 150^\circ} = 2R$$

$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$より、

$$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2R$$

$$2\sqrt{3} = 2R$$

$$R = \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$R = \sqrt{3}$

## 問題120B (2)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{6}$, $A = 120^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$

$a = \sqrt{6}$, $A = 120^\circ$を代入すると、

$$\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = 2R$$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$より、

$$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$

$$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2R$$

$$R = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$R = \sqrt{2}$

## 問題120B (3)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 8$, $A = 60^\circ$, $C = 75^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$B$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A + B + C = 180^\circ$

$60^\circ + B + 75^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

正弦定理を用いる。

$$\frac{b}{\sin B} = 2R$$

$b = 8$, $B = 45^\circ$を代入すると、

$$\frac{8}{\sin 45^\circ} = 2R$$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$より、

$$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$

$$\frac{16}{\sqrt{2}} = 2R$$

$$R = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$R = 4\sqrt{2}$