$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ を満たす $\theta$ について、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ を満たす $\theta$ について、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係式

$$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

を利用する。

$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$$1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$$

したがって、

$$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ であり、$\tan \theta = -\frac{1}{3} < 0$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

このとき、$\cos \theta < 0$ なので、

$$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

次に、三角関数の相互関係式

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

を利用する。

$$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = \left(-\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$