問題57：立方体の6個の面を、6種類の色すべてを用いて塗り分ける方法は何通りあるか。 問題58：異なる6個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題57：立方体の6個の面を、6種類の色すべてを用いて塗り分ける方法は何通りあるか。

問題58：異なる6個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題57：

立方体をある面を下にして固定したとき、上面の色は6通り考えられます。

上面の色を固定すると、側面の4つの面の色の並び方は、円順列で考えられます。円順列の公式は $(n-1)!$ なので、側面の色の並び方は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

しかし、上面と下面を入れ替えても同じ塗り方になるので、その分を2で割る必要があります。

したがって、塗り方の総数は $6 \times 6 / 2 = 18$ 通りです。

別解:

まず、$6!$通りの色の並べ方を考えます。

立方体には回転対称性があります。立方体を垂直方向に回転させたときに、4つの面が同じ並び順になるので、4で割ります。

また、立方体を水平方向に回転させたときに、上下の面が入れ替わる場合があるので、2で割ります。

したがって、塗り方の総数は $6!/(4 \times 2) = 720/8 = 90$となり、

これは誤りです。

まず、底面の色を固定すると、残りの5色で上面の色を選ぶことができるので、5通りあります。

次に、側面の4つの面の色の並び方を考えます。

これは円順列なので、$(4-1)! = 3! = 6$通りです。

したがって、塗り方の総数は $5 \times 6 = 30$通りです。

問題58：

異なる6個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は、円順列と裏返しを考慮する必要があります。

まず、6個の玉を円形に並べる方法は $(6-1)! = 5! = 120$ 通りです。

しかし、首飾りは裏返すことができるので、裏返して同じになるものを区別しないとすると、$120/2 = 60$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

問題57：30通り

問題58：60通り