3つのビルA, B, Cがそれぞれ道XとY, 道YとZ, 道ZとXの交点上にあり、ビルAとビルBの距離は3km, ビルAとビルCの距離は4km, ビルBとビルCの距離は5kmである。太郎さんの家はビルA, B, Cから等距離にあり、次郎さんの家はビルA, B, Cを結んでできる三角形の内部にあり道X, Y, Zから等距離にあり、花子さんの家は道Z上にあり、花子さんの家から次郎さんの家とビルAが重なって見えるとき、太郎さんの家と花子さんの家の距離を求める問題です。ビルや家は点として、道は線として考えます。

1. 問題の内容

3つのビルA, B, Cがそれぞれ道XとY, 道YとZ, 道ZとXの交点上にあり、ビルAとビルBの距離は3km, ビルAとビルCの距離は4km, ビルBとビルCの距離は5kmである。太郎さんの家はビルA, B, Cから等距離にあり、次郎さんの家はビルA, B, Cを結んでできる三角形の内部にあり道X, Y, Zから等距離にあり、花子さんの家は道Z上にあり、花子さんの家から次郎さんの家とビルAが重なって見えるとき、太郎さんの家と花子さんの家の距離を求める問題です。ビルや家は点として、道は線として考えます。

2. 解き方の手順

まず、ビルA, B, Cの位置関係から、三角形ABCがどのような三角形であるかを確認します。3辺の長さが3, 4, 5であることから、$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$となり、ピタゴラスの定理が成り立つため、三角形ABCは角Aを直角とする直角三角形です。

太郎さんの家はビルA, B, Cから等距離にあるため、三角形ABCの外心に位置します。直角三角形の外心は斜辺の中点にあります。したがって、太郎さんの家は斜辺BCの中点に位置します。

次郎さんの家は道X, Y, Zから等距離にあるため、三角形ABCの内心に位置します。内心は三角形の内角の二等分線の交点です。三角形ABCの内接円の半径をrとすると、三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2}(a+b+c)r$

で表されます。三角形ABCの面積は、$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$です。

したがって、

$6 = \frac{1}{2}(3+4+5)r = 6r$

より、内接円の半径$r=1$となります。

花子さんの家は道Z上にあり、次郎さんの家とビルAが重なって見えることから、花子さんの家は線分AJと道Z（線分AC）の交点に位置します。ここで、Jは次郎さんの家の位置、すなわち三角形の内心です。

AからACにおろした垂線の足までをxとすると,

三角形AJCにおいて、$AJ = \sqrt{r^2 + (3-x)^2}$

tanC = 3/4

CJ = r / tan(C/2)

花子さんの家をHとします。

A, J, Hが一直線上にある。

直線AJとACの交点がH

△ABCの内接円の半径は1

Aを原点としてB(4,0), C(0,3)

内心は(1,1)

線分AJの式はy=x

y=xと線分AC(3x+4y-12=0)の交点

3x+4x-12=0

7x = 12

x = 12/7, y=12/7

H(12/7, 12/7)

太郎さんの家はBCの中点なので(2,3/2)

線分THの距離は $\sqrt{(2-\frac{12}{7})^2 + (\frac{3}{2}-\frac{12}{7})^2} = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (-\frac{3}{14})^2} = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{196}} = \sqrt{\frac{16+9}{196}} = \sqrt{\frac{25}{196}} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{14}$ km