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（1）正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。 （2）立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

幾何学場合の数順列円順列立方体正四角錐塗り分け
2025/6/26

1. 問題の内容

（1）正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。
（2）立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の塗り分け
まず、底面の色を決めます。5色から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。
次に、側面の4つの面を塗ります。これは円順列の考え方を使います。残りの4色を円順列で並べるので、(4−1)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6 通りです。
したがって、正四角錐の塗り分け方は、
5×6=305 \times 6 = 30 通りです。
(2) 立方体の塗り分け
まず、上面の色を決めます。6色から1色を選ぶので、6通りの選び方があります。
次に、下面の色を決めます。残りの5色から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。
側面の4つの面を塗ります。残りの4色を円順列で並べるので、(4−1)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6 通りです。
したがって、立方体の塗り分け方は、
6×5×6/4=30×6/4=180/4=456 \times 5 \times 6 / 4 = 30 \times 6 / 4 = 180/4 = 45 通りではありません。これは間違いです。
立方体の塗り分け方を考えます。
まず、1つの面の色を固定します。6色から1色を選ぶので、6通りの選び方があります。
次に、その対面の色を決めます。残りの5色から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。
残りの4つの側面を塗ります。これは円順列の考え方を使います。残りの4色を円順列で並べるので、(4−1)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6 通りです。
したがって、立方体の塗り分け方は、
6×5×3!6 \times 5 \times 3!で計算すると回転によって同じものが重複して数えられているので、
6×5×(4−1)!/4=306 \times 5 \times (4-1)! / 4 = 30 ではないです。
立方体の塗り分けはより複雑です。
まず、ある1つの面を固定して考えます。その面の色を決めると6通り。
次に、その反対側の面の色を決めると残り5通り。
次に、残りの4つの側面を塗ることを考えます。4つの側面を横から見た時、ある色を基準にすると、残りの3色の並び順は円順列ではなく順列なので、3! = 6通り。
したがって、6 * 5 * 6 = 180通りなのですが、立方体は回転させることができるので、同じ塗り方が複数回カウントされています。回転対称性を考慮すると、30通りになります。

3. 最終的な答え

(1) 30通り
(2) 30通り

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