$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ を証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ を証明する。

2. 解き方の手順

重心の性質より、$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC}$ を $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ を利用して変形する。

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC}$

$= \overrightarrow{0} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC}$

$= \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC}$

ここで、$\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}$ かつ $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}$であるから、

$\overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}) + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG})$

$= \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG}$

重心の定義より、$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3} = \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$

よって、

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

$= \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

$= \overrightarrow{AC}$

したがって、$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ が証明された。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$