問題1は半径が3、弧の長さが4の扇形に関する問題です。 (1)中心角の大きさを求めます。 (2)面積を求めます。 問題2は$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求める問題です。 (1) $\sin\theta\cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

1. 問題の内容

問題1は半径が3、弧の長さが4の扇形に関する問題です。

(1)中心角の大きさを求めます。

(2)面積を求めます。

問題2は$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求める問題です。

(1) $\sin\theta\cos\theta$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

問題1

(1) 中心角の大きさは、弧の長さを半径で割ることで求められます。

$中心角 = \frac{弧の長さ}{半径}$

(2) 扇形の面積は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$または、$S = \frac{1}{2}rl$で求められます。（$r$は半径、$l$は弧の長さ、$\theta$は中心角）

問題2

(1) 与えられた式$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$の両辺を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$であるから、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$を$(\sin\theta + \cos\theta)$と$\sin\theta\cos\theta$を用いて表します。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$を代入します。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{2}{3})(1 - (-\frac{5}{18}))$

$= (\frac{2}{3})(1 + \frac{5}{18})$

$= (\frac{2}{3})(\frac{18}{18} + \frac{5}{18})$

$= (\frac{2}{3})(\frac{23}{18})$

$= \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 中心角の大きさ: $\frac{4}{3}$ラジアン

(2) 面積: 6

問題2

(1) $\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{23}{27}$