問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。 (1) 中心角の大きさは何ラジアンか。 (2) 面積を求めよ。 問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

1. 問題の内容

問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。

(1) 中心角の大きさは何ラジアンか。

(2) 面積を求めよ。

問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

問題1

(1) 中心角の大きさ $\theta$ は、弧の長さ $l$ と半径 $r$ を用いて $l = r \theta$ と表される。よって $\theta = \frac{l}{r}$ である。

(2) 扇形の面積 $S$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ を用いて $S = \frac{1}{2} r^2 \theta$ と表される。または、半径 $r$ と弧の長さ $l$ を用いて $S = \frac{1}{2} rl$ と表される。

問題2

(1) 与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗すると、

$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2$$

$$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$$

$$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4-9}{9} = -\frac{5}{9}$$

$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ は因数分解できる。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$$

$$= (\sin \theta + \cos \theta) (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - \sin \theta \cos \theta)$$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$ を代入すると、

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \left( \frac{2}{3} \right) \left( 1 - \left( -\frac{5}{18} \right) \right) = \frac{2}{3} \left( 1 + \frac{5}{18} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{18+5}{18} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{23}{18} = \frac{23}{27}$$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 中心角の大きさ：$\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積：6

問題2

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{23}{27}$