三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$ が与えられたとき、辺 $b$ と $c$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$ が与えられたとき、辺 $b$ と $c$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、角 $A$ を求める。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて辺 $b$ の長さを求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$2\sqrt{2} = \frac{2b}{\sqrt{2}}$

$b = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

次に、正弦定理を用いて辺 $c$ の長さを求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

$2\sqrt{2} = \frac{4c}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

$c = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$

よって、$c = 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$b = 2$

$c = 1 + \sqrt{3}$