円 $x^2 + y^2 = 5$ と次の2つの円の位置関係を調べる問題です。 (1) $(x-3)^2 + (y-6)^2 = 80$ (2) $(x+4)^2 + (y+8)^2 = 20$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と次の2つの円の位置関係を調べる問題です。

(1) $(x-3)^2 + (y-6)^2 = 80$

(2) $(x+4)^2 + (y+8)^2 = 20$

2. 解き方の手順

2つの円の中心間の距離 $d$ と、それぞれの円の半径 $r_1, r_2$ を求め、以下の関係によって位置関係を判断します。

* $d > r_1 + r_2$: 互いに外部にある

* $d = r_1 + r_2$: 外接する

* $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$: 交わる

* $d = |r_1 - r_2|$: 内接する

* $d < |r_1 - r_2|$: 一方が他方の内部にある

円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点(0, 0)で、半径 $r_1 = \sqrt{5}$です。

(1) 円 $(x-3)^2 + (y-6)^2 = 80$ の中心は(3, 6)で、半径 $r_2 = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$です。

中心間の距離 $d = \sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$です。

$r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$|r_1 - r_2| = | \sqrt{5} - 4\sqrt{5}| = |-3\sqrt{5}| = 3\sqrt{5}$

$d = 3\sqrt{5} = |r_1 - r_2|$ なので、内接します。

(2) 円 $(x+4)^2 + (y+8)^2 = 20$ の中心は(-4, -8)で、半径 $r_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$です。

中心間の距離 $d = \sqrt{(-4-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$です。

$r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$|r_1 - r_2| = |\sqrt{5} - 2\sqrt{5}| = |-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$

$d = 4\sqrt{5} > r_1 + r_2 = 3\sqrt{5}$ なので、互いに外部にあります。

3. 最終的な答え

(1) 内接する

(2) 互いに外部にある