3点A(1,1), B(2,-1), C(3,2) が与えられています。 (1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求めよ。 (2) 三角形ABCの外心の座標と外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(1,1), B(2,-1), C(3,2) が与えられています。

(1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求めよ。

(2) 三角形ABCの外心の座標と外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおき、3点A, B, Cの座標を代入してl, m, nを求めます。

点A(1,1)を代入すると:

$1^2 + 1^2 + l(1) + m(1) + n = 0$

$l + m + n = -2$ (1)

点B(2,-1)を代入すると:

$2^2 + (-1)^2 + l(2) + m(-1) + n = 0$

$2l - m + n = -5$ (2)

点C(3,2)を代入すると:

$3^2 + 2^2 + l(3) + m(2) + n = 0$

$3l + 2m + n = -13$ (3)

(2) - (1) より:

$(2l - m + n) - (l + m + n) = -5 - (-2)$

$l - 2m = -3$ (4)

(3) - (2) より:

$(3l + 2m + n) - (2l - m + n) = -13 - (-5)$

$l + 3m = -8$ (5)

(5) - (4) より:

$(l + 3m) - (l - 2m) = -8 - (-3)$

$5m = -5$

$m = -1$

(4)に代入して:

$l - 2(-1) = -3$

$l + 2 = -3$

$l = -5$

(1)に代入して:

$-5 + (-1) + n = -2$

$-6 + n = -2$

$n = 4$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$

(2) 外心の座標を(p,q)とすると、円の中心の座標は、円の方程式を平方完成して求める。

$x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$

$(x^2 - 5x) + (y^2 - y) + 4 = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 4 = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} - 4$

$(x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{26}{4} - \frac{16}{4}$

$(x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

したがって、外心の座標は $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$

外接円の半径は $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$

(2) 外心の座標：$(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$

外接円の半径：$\frac{\sqrt{10}}{2}$