線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点Cがある。線分ACを直径とする半円と、線分BCを直径とする半円がある。AC = $x$, BC = $y$ とするとき、斜線部分の図形について、以下の問いに答える。 (1) 周の長さを求めなさい。 (2) 面積を求めなさい。

1. 問題の内容

線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点Cがある。線分ACを直径とする半円と、線分BCを直径とする半円がある。AC = $x$, BC = $y$ とするとき、斜線部分の図形について、以下の問いに答える。

(1) 周の長さを求めなさい。

(2) 面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さについて：

斜線部分の周の長さは、直径が $x$ の半円の弧の長さ、直径が $y$ の半円の弧の長さ、および直径が $x+y$ の半円の弧の長さの和である。

直径が $d$ の円の円周は $\pi d$ なので、半径が $d$ の半円の弧の長さは $\frac{1}{2} \pi d$ である。

したがって、周の長さは、

$\frac{1}{2} \pi x + \frac{1}{2} \pi y + \frac{1}{2} \pi (x+y)$

$= \frac{1}{2} \pi x + \frac{1}{2} \pi y + \frac{1}{2} \pi x + \frac{1}{2} \pi y$

$= \pi x + \pi y$

$= \pi (x+y)$

(2) 面積について：

斜線部分の面積は、直径が $x+y$ の半円の面積から、直径が $x$ の半円の面積と直径が $y$ の半円の面積を引いたものである。

直径が $d$ の円の面積は $\pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ なので、半径が $d$ の半円の面積は $\frac{\pi d^2}{8}$ である。

したがって、斜線部分の面積は、

$\frac{\pi (x+y)^2}{8} - \frac{\pi x^2}{8} - \frac{\pi y^2}{8}$

$= \frac{\pi}{8} ((x+y)^2 - x^2 - y^2)$

$= \frac{\pi}{8} (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - y^2)$

$= \frac{\pi}{8} (2xy)$

$= \frac{\pi xy}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 周の長さ：$\pi(x+y)$

(2) 面積：$\frac{\pi xy}{4}$