座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ があり、その中心を $C$ とする。点 $A(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ （$a$ は正の定数）である直線を $l$ とする。 (1) 点 $C$ の座標と円 $K$ の半径を求める。 (2) 直線 $l$ の方程式を $a, x, y$ を用いて表し、直線 $l$ と円 $K$ が接するときの $a$ の値を求める。 (3) $a$ は(2)で求めた値とする。点 $C$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線と $y$ 軸の交点を $B$ とする。点 $B$ の座標を求め、円 $K$ 上を点 $P$ が動くとき、三角形 $ABP$ の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ があり、その中心を $C$ とする。点 $A(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ （$a$ は正の定数）である直線を $l$ とする。

(1) 点 $C$ の座標と円 $K$ の半径を求める。

(2) 直線 $l$ の方程式を $a, x, y$ を用いて表し、直線 $l$ と円 $K$ が接するときの $a$ の値を求める。

(3) $a$ は(2)で求めた値とする。点 $C$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線と $y$ 軸の交点を $B$ とする。点 $B$ の座標を求め、円 $K$ 上を点 $P$ が動くとき、三角形 $ABP$ の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

よって、中心 $C$ の座標は $(4, 0)$ であり、半径は $4$ である。

(2) 直線 $l$ は点 $A(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ であるから、その方程式は

$y - 0 = a(x - (-1))$

$y = a(x + 1)$

$ax - y + a = 0$

直線 $l$ と円 $K$ が接するとき、円の中心 $(4, 0)$ と直線 $l$ の距離が半径 $4$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|a(4) - 0 + a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|5a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 4$

両辺を2乗して

$\frac{25a^2}{a^2 + 1} = 16$

$25a^2 = 16a^2 + 16$

$9a^2 = 16$

$a^2 = \frac{16}{9}$

$a > 0$ より、

$a = \frac{4}{3}$

(3) $a = \frac{4}{3}$ のとき、直線 $l$ の傾きは $\frac{4}{3}$ である。点 $C(4, 0)$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{3}{4}$ であるから、その方程式は

$y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 4)$

$y = -\frac{3}{4}x + 3$

この直線と $y$ 軸の交点 $B$ は、$x = 0$ のとき $y = 3$ であるから、点 $B$ の座標は $(0, 3)$ である。

$A(-1, 0)$, $B(0, 3)$ より、直線 $AB$ の方程式は $y = 3x + 3$ である。

点 $P$ と直線 $AB$ の距離が最大となるとき、三角形 $ABP$ の面積は最大となる。

点 $P$ は円 $K$ 上の点であるから、$P(x, y)$ とおくと、$(x - 4)^2 + y^2 = 16$ を満たす。

点 $P(x, y)$ と直線 $3x - y + 3 = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|3x - y + 3|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3x - y + 3|}{\sqrt{10}}$

$d$ が最大となるのは、円の中心 $(4, 0)$ を通り、直線 $AB$ に垂直な直線と円 $K$ の交点である。

このとき、$d$ の最大値は、円の中心と直線 $AB$ の距離に半径 $4$ を加えたものである。

円の中心 $(4, 0)$ と直線 $3x - y + 3 = 0$ の距離は

$\frac{|3(4) - 0 + 3|}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

$d$ の最大値は $\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4$

線分 $AB$ の長さは $\sqrt{(0 - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

三角形 $ABP$ の面積の最大値は

$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times (\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4) = \frac{1}{2} \times (15 + 4\sqrt{10}) = \frac{15}{2} + 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) 点 $C$ の座標: $(4, 0)$、円 $K$ の半径: $4$

(2) 直線 $l$ の方程式: $ax - y + a = 0$、$a = \frac{4}{3}$

(3) 点 $B$ の座標: $(0, 3)$、三角形 $ABP$ の面積の最大値: $\frac{15}{2} + 2\sqrt{10}$