正方形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺BCの中点をFとする。このとき、線分AFと線分DEが直交すること（$AF \perp DE$）を証明せよ。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺BCの中点をFとする。このとき、線分AFと線分DEが直交すること（$AF \perp DE$）を証明せよ。

2. 解き方の手順

正方形ABCDの一辺の長さを $a$ とします。

すると、AE = EB = BF = FC = $a/2$ となります。

A(0, a), B(0, 0), C(a, 0), D(a, a) と座標を設定します。

このとき、E(0, a/2), F(a/2, 0) となります。

線分AFの傾きは、

$$m_{AF} = \frac{0 - a}{a/2 - 0} = \frac{-a}{a/2} = -2$$

線分DEの傾きは、

$$m_{DE} = \frac{a - a/2}{a - 0} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$

線分AFと線分DEが直交するのは、それぞれの傾きの積が-1となるときです。

傾きの積は、$m_{AF} \times m_{DE} = -2 \times \frac{1}{2} = -1$ となります。

したがって、AFとDEは直交します。

3. 最終的な答え

AF ⊥ DE であることが証明された。