## (1) 問題の内容

## (1) 問題の内容

2点 $A(-3, 0)$ と $B(3, 0)$ に対して、$AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める問題です。

## (1) 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP^2$ と $BP^2$ をそれぞれ座標で表します。

$AP^2 = (x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = (x + 3)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x - 3)^2 + y^2$

与えられた条件 $AP^2 + BP^2 = 20$ に代入します。

$(x + 3)^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 = 20$

展開して整理します。

$(x^2 + 6x + 9 + y^2) + (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 20$

$2x^2 + 2y^2 + 18 = 20$

$2x^2 + 2y^2 = 2$

両辺を 2 で割ります。

$x^2 + y^2 = 1$

これは、原点を中心とする半径 1 の円を表します。

## (1) 最終的な答え

求める軌跡は、円 $x^2 + y^2 = 1$ である。

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## (2) 問題の内容

2点 $A(-1, 0)$ と $B(1, 0)$ に対して、$AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める問題です。

## (2) 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP^2$ と $BP^2$ をそれぞれ座標で表します。

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x + 1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

与えられた条件 $AP^2 - BP^2 = 1$ に代入します。

$(x + 1)^2 + y^2 - ((x - 1)^2 + y^2) = 1$

展開して整理します。

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) - (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 1$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 = 1$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

これは、$x = \frac{1}{4}$ を表す直線です。

## (2) 最終的な答え

求める軌跡は、直線 $x = \frac{1}{4}$ である。