円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x+m$ が共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x+m$ が共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心 $(-2, 1)$ と直線 $y = x+m$ 、つまり $x - y + m = 0$ との距離 $d$ が、円の半径 $\sqrt{5}$ より大きいという条件を使う。

点と直線の距離の公式より、距離 $d$ は

$d = \frac{|(-2) - (1) + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3+m|}{\sqrt{2}}$

これが $\sqrt{5}$ より大きければよいので、

$\frac{|-3+m|}{\sqrt{2}} > \sqrt{5}$

$|-3+m| > \sqrt{10}$

したがって、$-3+m > \sqrt{10}$ または $-3+m < -\sqrt{10}$

これを解いて、$m > 3 + \sqrt{10}$ または $m < 3 - \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$m < 3 - \sqrt{10}$ または $m > 3 + \sqrt{10}$