複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、以下の問いに答える。 (1) 複素数 $w = \frac{z-1}{z-i}$ で表される点 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。 (2) (1)の図形を、原点を中心に $\frac{\pi}{6}$ だけ回転して得られる図形を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、以下の問いに答える。

(1) 複素数 $w = \frac{z-1}{z-i}$ で表される点 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(2) (1)の図形を、原点を中心に $\frac{\pi}{6}$ だけ回転して得られる図形を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$z$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くので、$|z| = \sqrt{2}$ である。

したがって、$z = \sqrt{2} e^{i\theta}$ （$\theta$ は実数）と表せる。

$w = \frac{z-1}{z-i}$ より、$w(z-i) = z-1$ であるから、$wz - wi = z - 1$ となる。

よって、$wz - z = wi - 1$ であるから、$z(w-1) = wi - 1$ となる。

$z = \frac{wi - 1}{w-1}$ となる。

$|z| = \sqrt{2}$ より、$|\frac{wi - 1}{w-1}| = \sqrt{2}$ である。

$|wi - 1| = \sqrt{2}|w-1|$ である。

$w = x+yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|i(x+yi) - 1| = \sqrt{2}|(x+yi) - 1|$ となる。

$|xi - y - 1| = \sqrt{2}|x-1 + yi|$ である。

$|-y-1 + xi| = \sqrt{2}|x-1 + yi|$ である。

$\sqrt{(-y-1)^2 + x^2} = \sqrt{2} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(y+1)^2 + x^2 = 2((x-1)^2 + y^2)$

$y^2 + 2y + 1 + x^2 = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$y^2 + 2y + 1 + x^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$

$0 = x^2 - 4x + y^2 - 2y + 1$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$

これは、中心 $(2, 1)$、半径 $2$ の円である。

(2)

(1)で求めた図形を、原点を中心に $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した図形を求める。

$w$ を $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を $w'$ とすると、$w' = w e^{i\frac{\pi}{6}} = w (\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}) = w (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ である。

$w' = x'+y'i$ とおくと、$x'+y'i = (x+yi)(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y + (\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y)i$ である。

したがって、$x' = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y$, $y' = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y$ である。

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ より、

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}w' + \frac{1}{2}v'$ and $y = -\frac{1}{2}w' + \frac{\sqrt{3}}{2}v'$と変換する。

$(\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' - 2)^2 + (-\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y' - 1)^2 = 4$

$\frac{3}{4}x'^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{1}{4}y'^2 - 2\sqrt{3}x' - 2y' + 4 + \frac{1}{4}x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{3}{4}y'^2 + x' - \sqrt{3}y' + 1 = 4$

$x'^2 + y'^2 - (2\sqrt{3} - 1)x' - (2 + \sqrt{3})y' + 5 = 4$

$x'^2 - (2\sqrt{3} - 1)x' + (\frac{2\sqrt{3}-1}{2})^2 + y'^2 - (2+\sqrt{3})y' + (\frac{2+\sqrt{3}}{2})^2 = 4 + (\frac{2\sqrt{3}-1}{2})^2 + (\frac{2+\sqrt{3}}{2})^2 - 5$

$(x' - \frac{2\sqrt{3}-1}{2})^2 + (y' - \frac{2+\sqrt{3}}{2})^2 = 4 + \frac{12 - 4\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{4+4\sqrt{3}+3}{4} - 5 = 4 + \frac{13 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3}}{4} - 5 = 4 + \frac{20}{4} - 5 = 4 + 5 - 5 = 4$

したがって、中心 $(\frac{2\sqrt{3}-1}{2}, \frac{2+\sqrt{3}}{2})$、半径 $2$ の円である。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(2, 1)$、半径 $2$ の円

(2) 中心 $(\frac{2\sqrt{3}-1}{2}, \frac{2+\sqrt{3}}{2})$、半径 $2$ の円