三角形OABにおいて、OA=OB=1, ∠AOB=90°とする。辺OAを3:2に内分する点をP, 辺OBを1:1に内分する点をQ, 線分BPと線分AQの交点をR, 直線ORと辺ABの交点をSとする。 (1) ベクトルORをベクトルOA, ベクトルOBを用いて表せ。 (2) ベクトルOSをベクトルOA, ベクトルOBを用いて表せ。 (3) △OASの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=OB=1, ∠AOB=90°とする。辺OAを3:2に内分する点をP, 辺OBを1:1に内分する点をQ, 線分BPと線分AQの交点をR, 直線ORと辺ABの交点をSとする。

(1) ベクトルORをベクトルOA, ベクトルOBを用いて表せ。

(2) ベクトルOSをベクトルOA, ベクトルOBを用いて表せ。

(3) △OASの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Rは線分BP上にあるので、実数$s$を用いて、

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OP}$

$\vec{OP} = \frac{3}{5}\vec{OA}$なので、

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + \frac{3s}{5}\vec{OA}$

点Rは線分AQ上にあるので、実数$t$を用いて、

$\vec{OR} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OQ}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{2}\vec{OB}$なので、

$\vec{OR} = (1-t)\vec{OA} + \frac{t}{2}\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = 1-t$

$1-s = \frac{t}{2}$

これを解くと、$s = \frac{5}{8}, t = \frac{3}{4}$

したがって、

$\vec{OR} = \frac{3}{8}\vec{OA} + \frac{3}{8}\vec{OB}$

(2) 点Sは直線OR上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OS} = k\vec{OR} = \frac{3k}{8}\vec{OA} + \frac{3k}{8}\vec{OB}$

点Sは線分AB上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{OS} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3k}{8} = 1-l$

$\frac{3k}{8} = l$

これを解くと、$l = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, k = \frac{4}{3}$

したがって、

$\vec{OS} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

(3)

$\triangle OAS = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OS}| \sin(\angle AOS)$は直接求めるのが難しい。

$\vec{OS} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$なので、

$\triangle OAB$の面積は $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

$\triangle OAS$の面積は $\triangle OAB$の面積の$\frac{1}{2}$倍である。

$\triangle OAS = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OS}| \sin(\angle AOS) = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OS}|$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$

$\triangle OAS = \frac{1}{2} | \vec{OA} \times (\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}) | = \frac{1}{2} | \frac{1}{2} (\vec{OA} \times \vec{OB}) | = \frac{1}{4} | \vec{OA} \times \vec{OB} |$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

したがって$\triangle OAS = \frac{1}{2}\triangle OAB = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = \frac{3}{8}\vec{OA} + \frac{3}{8}\vec{OB}$

(2) $\vec{OS} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

(3) $\triangle OAS = \frac{1}{4}$