三角形ABCにおいて、$AB=20$, $BC=10$, $AC=15$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長の交点をDとする。線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=20$, $BC=10$, $AC=15$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長の交点をDとする。線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線は、辺BCの延長と点Dで交わる。このとき、角Aの外角の二等分線の性質より、以下の比が成り立つ。

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

ここで、$BD = x$ とすると、$CD = BD - BC = x - 10$となる。

したがって、

$\frac{x}{x-10} = \frac{20}{15}$

$\frac{x}{x-10} = \frac{4}{3}$

$3x = 4(x-10)$

$3x = 4x - 40$

$x = 40$

したがって、$BD = 40$となる。

3. 最終的な答え

線分BDの長さは40である。