2直線 $2x+y-3=0$ と $3x-2y+2=0$ の交点と原点を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2直線 $2x+y-3=0$ と $3x-2y+2=0$ の交点と原点を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求める。

$2x+y-3=0$ より、 $y = -2x + 3$

$3x-2y+2=0$ に代入すると、

$3x - 2(-2x+3) + 2 = 0$

$3x + 4x - 6 + 2 = 0$

$7x - 4 = 0$

$7x = 4$

$x = \frac{4}{7}$

$y = -2x + 3$ に $x = \frac{4}{7}$ を代入すると、

$y = -2(\frac{4}{7}) + 3 = -\frac{8}{7} + \frac{21}{7} = \frac{13}{7}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{4}{7}, \frac{13}{7})$ である。

原点 $(0,0)$ と交点 $(\frac{4}{7}, \frac{13}{7})$ を通る直線の方程式を $y=ax$ とおく。

$(\frac{4}{7}, \frac{13}{7})$ を通るので、

$\frac{13}{7} = a(\frac{4}{7})$

$13 = 4a$

$a = \frac{13}{4}$

したがって、求める直線の方程式は $y=\frac{13}{4}x$ である。

両辺に4をかけて、 $4y = 13x$ となり、$13x - 4y = 0$ と変形できる。

3. 最終的な答え

$13x - 4y = 0$