円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持たない条件は、円の中心と直線の距離が円の半径よりも大きいことです。

まず、円の中心と半径を求めます。円の方程式 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ から、中心は $(-2, 1)$、半径は $\sqrt{5}$ です。

次に、点と直線の距離の公式を使って、円の中心 $(-2, 1)$ と直線 $y = x + m$ つまり $x - y + m = 0$ の距離 $d$ を求めます。

$d = \frac{|(-2) - (1) + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 + m|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持たない条件は、$d > \sqrt{5}$ であるので、

$\frac{|-3 + m|}{\sqrt{2}} > \sqrt{5}$

$|-3 + m| > \sqrt{10}$

この不等式を解きます。

$-3 + m > \sqrt{10}$ または $-3 + m < -\sqrt{10}$

$m > 3 + \sqrt{10}$ または $m < 3 - \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$m < 3 - \sqrt{10}$ または $m > 3 + \sqrt{10}$