2つの直線 $l_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ と $l_2: x = 3+kt, y = 2t, z = 1-4t$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ と $l_2: x = 3+kt, y = 2t, z = 1-4t$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (3, -5, 2)$ である。

直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (k, 2, -4)$ である。

2つの直線が垂直であるための条件は、それぞれの方向ベクトルの内積が0になることである。つまり、

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

内積を計算すると：

$3k + (-5)(2) + 2(-4) = 0$

$3k - 10 - 8 = 0$

$3k - 18 = 0$

$3k = 18$

$k = 6$

3. 最終的な答え

$k = 6$