与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。具体的には以下の3つの円の方程式を求めます。 (1) 中心が$(3, 0)$で、直線$4x - 3y - 2 = 0$に接する円 (2) 中心が$x$軸の上側にあり、$x$軸と直線$x + y = 1$に接し、半径が$3$である円 (3) 中心が直線$y = 3x$上にあり、直線$2x + y = 0$に接し、点$(2, 1)$を通る円

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。具体的には以下の3つの円の方程式を求めます。

(1) 中心が$(3, 0)$で、直線$4x - 3y - 2 = 0$に接する円

(2) 中心が$x$軸の上側にあり、$x$軸と直線$x + y = 1$に接し、半径が$3$である円

(3) 中心が直線$y = 3x$上にあり、直線$2x + y = 0$に接し、点$(2, 1)$を通る円

2. 解き方の手順

(1) 中心が$(3, 0)$で、直線$4x - 3y - 2 = 0$に接する円

円の中心$(3, 0)$から直線$4x - 3y - 2 = 0$までの距離が半径$r$となります。点と直線の距離の公式を用いて、$r$を求めます。

$r = \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 0 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

よって、円の方程式は

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

(2) 中心が$x$軸の上側にあり、$x$軸と直線$x + y = 1$に接し、半径が$3$である円

中心の座標を$(a, 3)$とします。なぜなら、$x$軸に接し、$x$軸の上側にある半径3の円の中心の$y$座標は3となるからです。

円が直線$x + y = 1$に接するので、中心$(a, 3)$から直線$x + y - 1 = 0$までの距離が半径$3$に等しくなります。

$\frac{|a + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 3$

$|a + 2| = 3\sqrt{2}$

$a + 2 = \pm 3\sqrt{2}$

$a = -2 \pm 3\sqrt{2}$

よって、円の方程式は

$(x - (-2 + 3\sqrt{2}))^2 + (y - 3)^2 = 9$

$(x - (-2 - 3\sqrt{2}))^2 + (y - 3)^2 = 9$

つまり、

$(x + 2 - 3\sqrt{2})^2 + (y - 3)^2 = 9$

$(x + 2 + 3\sqrt{2})^2 + (y - 3)^2 = 9$

(3) 中心が直線$y = 3x$上にあり、直線$2x + y = 0$に接し、点$(2, 1)$を通る円

中心の座標を$(a, 3a)$とします。

円の方程式は$(x - a)^2 + (y - 3a)^2 = r^2$

点$(2, 1)$を通るので、$(2 - a)^2 + (1 - 3a)^2 = r^2$

円が直線$2x + y = 0$に接するので、中心$(a, 3a)$から直線$2x + y = 0$までの距離が半径$r$に等しくなります。

$r = \frac{|2a + 3a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{5}} = |a\sqrt{5}|$

よって、$r^2 = 5a^2$

$(2 - a)^2 + (1 - 3a)^2 = 5a^2$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 6a + 9a^2 = 5a^2$

$5a^2 - 10a + 5 = 0$

$a^2 - 2a + 1 = 0$

$(a - 1)^2 = 0$

$a = 1$

中心は$(1, 3)$、半径$r = |1\sqrt{5}| = \sqrt{5}$

円の方程式は$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)^2 + y^2 = 4$

(2) $(x + 2 - 3\sqrt{2})^2 + (y - 3)^2 = 9$ , $(x + 2 + 3\sqrt{2})^2 + (y - 3)^2 = 9$

(3) $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$