与えられた条件を満たす平面の方程式を求める問題です。 (1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求めます。 (2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求めます。 (3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす平面の方程式を求める問題です。

(1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求めます。

(2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求めます。

(3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ に垂直な平面の方程式は、

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ で表されます。

与えられた点 $(1, 6, -1)$ と法線ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ を代入して、

$2(x - 1) - (y - 6) + 4(z + 1) = 0$

$2x - 2 - y + 6 + 4z + 4 = 0$

$2x - y + 4z + 8 = 0$

(2) 平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式は、$x + 5y - 2z = d$ の形で表されます。

点 $(-4, 3, 1)$ を通るので、この点を代入して $d$ の値を求めます。

$-4 + 5(3) - 2(1) = d$

$-4 + 15 - 2 = d$

$9 = d$

したがって、求める平面の方程式は $x + 5y - 2z = 9$

(3) 3点 $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 1)$, $C(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

$\vec{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2)$

$\vec{AC} = (0-1, 3-2, 8-3) = (-1, 1, 5)$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で与えられます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2 \cdot 5 - (-2) \cdot 1, (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot 5, 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = (10 + 2, 2 - 10, 2 + 2) = (12, -8, 4)$

法線ベクトルは $(12, -8, 4)$ です。比をとって $(3, -2, 1)$ としても良いです。

点 $A(1, 2, 3)$ を通り、法線ベクトル $(3, -2, 1)$ に垂直な平面の方程式は、

$3(x - 1) - 2(y - 2) + (z - 3) = 0$

$3x - 3 - 2y + 4 + z - 3 = 0$

$3x - 2y + z - 2 = 0$

$3x - 2y + z = 2$

3. 最終的な答え

(1) $2x - y + 4z = -8$

(2) $x + 5y - 2z = 9$

(3) $3x - 2y + z = 2$