$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ ($s, t$ は実数) で表される点 $P$ について、$1 \le s+t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ を満たすときの点 $P$ の存在範囲を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ ($s, t$ は実数) で表される点 $P$ について、$1 \le s+t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ を満たすときの点 $P$ の存在範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$s+t = k$ とおくと、$1 \le k \le 2$ である。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{OA} + (k-s)\overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + k\overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + k\overrightarrow{OB} = k(\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{k-s}{k}\overrightarrow{OB})$

ここで、$s \ge 0$ かつ $t = k-s \ge 0$ より $0 \le s \le k$ となる。

$\overrightarrow{OP} = k(\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{k-s}{k}\overrightarrow{OB})$ において、

$s' = \frac{s}{k}$, $t' = \frac{k-s}{k}$ とおくと、$s' + t' = \frac{s}{k} + \frac{k-s}{k} = \frac{k}{k} = 1$ となる。

したがって、$\overrightarrow{OP} = k(s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB})$ であり、$s' + t' = 1$, $s' \ge 0$, $t' \ge 0$ であるから、 $s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$ は線分 $AB$ 上の点を表す。

つまり、$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OQ}$ ($Q$は線分 $AB$ 上の点) と表される。

$1 \le k \le 2$ より、点 $P$ は、線分 $AB$ 上の点を $k$ 倍（$1$倍から$2$倍）に拡大した点である。

$s+t=1$のとき、$s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ は線分 $AB$ 上の点を表す。

$s+t=2$のとき、$s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ は線分 $OA'$, $OB'$上の点を表す。ただし、$OA' = 2OA$, $OB' = 2OB$となる点$A'$, $B'$を取る。$A'$と$B'$を結んだ線分上の点を表す。

したがって、求める範囲は、$O$, $A$, $B$でできる三角形を、それぞれ2倍にした点$A'$, $B'$を用いてできる平行四辺形から、$O$, $A$, $B$でできる三角形を除いた領域となる。

3. 最終的な答え

点 P の存在範囲は、線分 $OA$ および線分 $OB$ をそれぞれ 2 倍に伸ばした点を $A'$ および $B'$ とするとき、平行四辺形 $O A' C B'$ （ただし $C$ は $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'}$ を満たす点）から、三角形 $OAB$ を除いた領域である。これは平行四辺形 $A A' C B'$ の内部（境界線を含む）となる。

図に斜線部を記入。