円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = x + 3$ の交点を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = x + 3$ の交点を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = x + 3$ を $x^2 + y^2 = 3$ に代入します。

$x^2 + (x + 3)^2 = 3$

展開して整理します。

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 3$

$2x^2 + 6x + 6 = 0$

両辺を2で割ります。

$x^2 + 3x + 3 = 0$

この2次方程式を解の公式で解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$x$ が複素数であるため、実数解は存在しません。

したがって、円と直線は交点を持ちません。

3. 最終的な答え

交点なし