問題6では、与えられた円と直線の共有点の個数を求めます。問題は2つあります。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + 4$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + 1$

1. 問題の内容

問題6では、与えられた円と直線の共有点の個数を求めます。問題は2つあります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + 4$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + 1$

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、連立方程式を解き、判別式を利用します。

(1)

$x^2 + y^2 = 8$ に $y = x + 4$ を代入すると、

$x^2 + (x + 4)^2 = 8$

$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 8$

$2x^2 + 8x + 8 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = x + 4 = -2 + 4 = 2$

共有点は1つだけなので、共有点の個数は1個です。

(2)

$x^2 + y^2 = 4$ に $y = -x + 1$ を代入すると、

$x^2 + (-x + 1)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(-3) = 4 + 24 = 28 > 0$

判別式が正なので、共有点は2個です。

3. 最終的な答え

(1) 1個

(2) 2個