直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、点 $A(3, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、16, 17, 18, 19について解答します。

**16 (1)**

1. 問題の内容

直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、点 $A(3, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

まず、$AB$ の中点 $M$ が直線 $x - y - 2 = 0$ 上にあることから、

$M$ の座標は $(\frac{x+3}{2}, \frac{y+7}{2})$ なので、

$$\frac{x+3}{2} - \frac{y+7}{2} - 2 = 0$$

$$x - y - 8 = 0 \tag{1}$$

また、直線 $AB$ と直線 $x - y - 2 = 0$ が垂直に交わることから、

$$\frac{y-7}{x-3} \cdot 1 = -1$$

$$y - 7 = -x + 3$$

$$x + y - 10 = 0 \tag{2}$$

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) + (2) より、

$2x - 18 = 0$, よって $x = 9$

$y = 10 - x = 10 - 9 = 1$

よって、点 $B$ の座標は $(9, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$B(9, 1)$

**16 (2)**

1. 問題の内容

直線 $4x + 3y + 1 = 0$ に関して、点 $A(-5, -2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

まず、$AB$ の中点 $M$ が直線 $4x + 3y + 1 = 0$ 上にあることから、$M$ の座標は $(\frac{x-5}{2}, \frac{y-2}{2})$ なので、

$$4(\frac{x-5}{2}) + 3(\frac{y-2}{2}) + 1 = 0$$

$$4x - 20 + 3y - 6 + 2 = 0$$

$$4x + 3y - 24 = 0 \tag{3}$$

また、直線 $AB$ と直線 $4x + 3y + 1 = 0$ が垂直に交わることから、

$$\frac{y+2}{x+5} \cdot (-\frac{4}{3}) = -1$$

$$4y + 8 = 3x + 15$$

$$3x - 4y + 7 = 0 \tag{4}$$

(3)と(4)の連立方程式を解きます。

(3) * 4 + (4) * 3 より、

$16x + 12y - 96 + 9x - 12y + 21 = 0$

$25x - 75 = 0$

$x = 3$

(4)に代入すると、

$9 - 4y + 7 = 0$

$4y = 16$

$y = 4$

よって、点 $B$ の座標は $(3, 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$B(3, 4)$

**17**

1. 問題の内容

3つの直線 $3x - 2y + 4 = 0$, $x + 4y + 6 = 0$, $2x + y - 2 = 0$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

3つの直線の交点を求めます。

* 直線1: $3x - 2y + 4 = 0$

* 直線2: $x + 4y + 6 = 0$

* 直線3: $2x + y - 2 = 0$

直線1と直線2の交点:

直線2より $x = -4y - 6$。これを直線1に代入すると、

$3(-4y - 6) - 2y + 4 = 0$

$-12y - 18 - 2y + 4 = 0$

$-14y - 14 = 0$

$y = -1$

$x = -4(-1) - 6 = -2$

交点: $(-2, -1)$

直線2と直線3の交点:

直線3より $y = -2x + 2$。これを直線2に代入すると、

$x + 4(-2x + 2) + 6 = 0$

$x - 8x + 8 + 6 = 0$

$-7x + 14 = 0$

$x = 2$

$y = -2(2) + 2 = -2$

交点: $(2, -2)$

直線1と直線3の交点:

直線3より $y = -2x + 2$。これを直線1に代入すると、

$3x - 2(-2x + 2) + 4 = 0$

$3x + 4x - 4 + 4 = 0$

$7x = 0$

$x = 0$

$y = -2(0) + 2 = 2$

交点: $(0, 2)$

3つの交点は $(-2, -1)$, $(2, -2)$, $(0, 2)$ です。

三角形の面積は、これらの点からなる行列式を用いて計算できます。

$$S = \frac{1}{2} |(-2)(-2 - 2) + 2(2 - (-1)) + 0((-1) - (-2))|$$

$$S = \frac{1}{2} |(-2)(-4) + 2(3) + 0(1)|$$

$$S = \frac{1}{2} |8 + 6|$$

$$S = \frac{1}{2} |14|$$

$$S = 7$$

3. 最終的な答え

面積: 7

**18 (2)**

1. 問題の内容

円 $(x+3)^2 + (y+2)^2 = 25$ の中心の座標と半径を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式は一般に $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表され、このとき中心の座標は $(a, b)$、半径は $r$ です。

与えられた円の方程式 $(x+3)^2 + (y+2)^2 = 25$ をこの形式に合わせると、 $(x - (-3))^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$ となります。

したがって、中心の座標は $(-3, -2)$、半径は $5$ です。

3. 最終的な答え

中心: $(-3, -2)$, 半径: $5$

**19 (1)**

1. 問題の内容

2点 $A(5, -2)$ と $B(-1, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の中心は、直径の両端の中点なので、

中心の座標は $(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{2}{2}) = (2, 1)$ です。

円の半径は、中心と点Aとの距離です。

$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (3\sqrt{2})^2$ となります。

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 18$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 18$