各辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OA上に点P、辺BC上に点Qをとる。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。$0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$ を満たす実数 $s, t$ を用いて $\vec{OP} = s\vec{a}$, $\vec{OQ} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ と表す。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \text{ア}$ であることから、$\lvert \vec{PQ} \rvert^2$を$s, t$を用いて表し、$\lvert \vec{PQ} \rvert$が最小となるときの$s, t$の値と最小値を求めよ。また、そのときの$\vec{OA} \cdot \vec{PQ}$の値と$\angle APQ$, 三角形APQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

各辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OA上に点P、辺BC上に点Qをとる。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。$0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$ を満たす実数 $s, t$ を用いて $\vec{OP} = s\vec{a}$, $\vec{OQ} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ と表す。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \text{ア}$ であることから、$\lvert \vec{PQ} \rvert^2$を$s, t$を用いて表し、$\lvert \vec{PQ} \rvert$が最小となるときの$s, t$の値と最小値を求めよ。また、そのときの$\vec{OA} \cdot \vec{PQ}$の値と$\angle APQ$, 三角形APQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$を求める。正四面体の各辺の長さは2なので、$\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \vec{b} \rvert = \lvert \vec{c} \rvert = 2$。また、$\vec{a}, \vec{b}$のなす角は$60^\circ$なので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$。

よって、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 2$。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - s\vec{a}$ より、

$\lvert \vec{PQ} \rvert^2 = ((1-t)\vec{b} + t\vec{c} - s\vec{a}) \cdot ((1-t)\vec{b} + t\vec{c} - s\vec{a})$

$= (1-t)^2 \lvert \vec{b} \rvert^2 + t^2 \lvert \vec{c} \rvert^2 + s^2 \lvert \vec{a} \rvert^2 + 2(1-t)t \vec{b} \cdot \vec{c} - 2s(1-t) \vec{a} \cdot \vec{b} - 2st \vec{a} \cdot \vec{c}$

$= 4(1-t)^2 + 4t^2 + 4s^2 + 4t(1-t) - 4s(1-t) - 4st$

$= 4(1 - 2t + t^2) + 4t^2 + 4s^2 + 4t - 4t^2 - 4s + 4st - 4st$

$= 4 - 8t + 4t^2 + 4t^2 + 4s^2 + 4t - 4t^2 - 4s$

$= 4s^2 - 4s + 4t^2 - 4t + 4$

$= 4(s^2 - s) + 4(t^2 - t) + 4$

$= 4(s - \frac{1}{2})^2 - 1 + 4(t - \frac{1}{2})^2 - 1 + 4$

$= 4(s - \frac{1}{2})^2 + 4(t - \frac{1}{2})^2 + 2$

$\lvert \vec{PQ} \rvert^2$ が最小となるのは、$s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2}$ のとき。

$\lvert \vec{PQ} \rvert^2$ の最小値は2なので、$\lvert \vec{PQ} \rvert$の最小値は$\sqrt{2}$。

$s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2}$ のとき、

$\vec{PQ} = (1 - \frac{1}{2})\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{OA} \cdot \vec{PQ} = \vec{a} \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2} \lvert \vec{a} \rvert^2 = \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2}(2) - \frac{1}{2}(4) = 1 + 1 - 2 = 0$

$\vec{OA} \cdot \vec{PQ} = 0$ より、$\angle APQ = 90^\circ$。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = s\vec{a} - \vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a}$

$\lvert \vec{AP} \rvert = \frac{1}{2} \lvert \vec{a} \rvert = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

三角形APQの面積 = $\frac{1}{2} \lvert \vec{AP} \rvert \lvert \vec{PQ} \rvert = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 1

エ: 4

オ: 1

カ: 2

キ: 1

ク: 2

ケ: 1

コ: 2

サ: 2

シ: 0

スセ: 90

ソ: 2

タ: 2