問3：次の円の方程式を求めよ。 (1) 2点 A(-1, 3) と B(5, -5) を直径の両端とする円 (2) 点 (3, 2) を中心として x 軸に接する円 問4：次の方程式が表す円の中心と半径を求めよ。 (1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 6 = 0$ (2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 2 = 0$

1. 問題の内容

問3：次の円の方程式を求めよ。

(1) 2点 A(-1, 3) と B(5, -5) を直径の両端とする円

(2) 点 (3, 2) を中心として x 軸に接する円

問4：次の方程式が表す円の中心と半径を求めよ。

(1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 6 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 2 = 0$

2. 解き方の手順

問3 (1)

* 円の中心は、直径の両端の中点である。中点の公式を用いて中心の座標を求める。

中心の座標を (h, k) とすると、

$h = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

$k = \frac{3 + (-5)}{2} = -1$

よって、中心は (2, -1) である。

* 円の半径は、中心と直径の端点間の距離である。A と中心の距離を求める。

$r = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

* 円の方程式は、$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で与えられる。

よって、$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5^2 = 25$

問3 (2)

* 中心が (3, 2) で x 軸に接する円なので、半径は y 座標の絶対値、つまり 2 である。

* 円の方程式は、$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で与えられる。

よって、$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 = 4$

問4 (1)

* 与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 - 6y - 6 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) - 6 - 1 - 9 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 16 = 4^2$

* したがって、中心は (1, 3) で、半径は 4 である。

問4 (2)

* 与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 6x + y^2 + 10y - 2 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) - 2 - 9 - 25 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 36 = 6^2$

* したがって、中心は (3, -5) で、半径は 6 である。

3. 最終的な答え

問3 (1): $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$

問3 (2): $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$

問4 (1): 中心の座標 (1, 3), 半径 4

問4 (2): 中心の座標 (3, -5), 半径 6