点A(1, 2, 3), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) が与えられたとき、四角形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標を求める。また、$\vec{OA} = (1, 2, -2)$, $\vec{OB} = (-2, 1, 2)$であるとき、三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

点A(1, 2, 3), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) が与えられたとき、四角形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標を求める。また、$\vec{OA} = (1, 2, -2)$, $\vec{OB} = (-2, 1, 2)$であるとき、三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDとなるための条件は、$\vec{AB} = \vec{DC}$である。

まず、$\vec{AB}$を計算する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0, 2, 0) - (1, 2, 3) = (-1, 0, -3)$

次に、$\vec{DC}$を計算する。点Dの座標を(x, y, z)とすると、$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (0, 0, 3) - (x, y, z) = (-x, -y, 3-z)$

$\vec{AB} = \vec{DC}$より、

$(-1, 0, -3) = (-x, -y, 3-z)$

したがって、

$-1 = -x$, $0 = -y$, $-3 = 3-z$

$x = 1$, $y = 0$, $z = 6$

よって、点Dの座標は(1, 0, 6)である。

次に、三角形OABの面積を求める。

$\vec{OA} = \vec{a} = (1, 2, -2)$

$\vec{OB} = \vec{b} = (-2, 1, 2)$

三角形OABの面積は $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$

$|\vec{b}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (2)(1) + (-2)(2) = -2 + 2 - 4 = -4$

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (-4)^2 = 16$

三角形OABの面積は $\frac{1}{2}\sqrt{9 \cdot 9 - 16} = \frac{1}{2}\sqrt{81 - 16} = \frac{1}{2}\sqrt{65}$

3. 最終的な答え

点Dの座標は(1, 0, 6)である。

三角形OABの面積は$\frac{\sqrt{65}}{2}$である。