正方形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺BCの中点をFとする。このとき、線分AFと線分DEが垂直であることを証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺BCの中点をFとする。このとき、線分AFと線分DEが垂直であることを証明する。

2. 解き方の手順

座標を設定してベクトルで考えるのが分かりやすいでしょう。

(1) 座標の設定

正方形ABCDの一辺の長さを2とする。点Aを原点(0, 0)とし、点Bを(2, 0)とする。このとき、各点の座標は次のようになる。

A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), E(1, 0), F(2, 1)

(2) ベクトルの計算

$\vec{AF}$と$\vec{DE}$をそれぞれ計算する。

$\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = (2, 1) - (0, 0) = (2, 1)$

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = (1, 0) - (0, 2) = (1, -2)$

(3) 内積の計算

$\vec{AF}$と$\vec{DE}$の内積を計算する。

$\vec{AF} \cdot \vec{DE} = (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$

(4) 垂直の証明

$\vec{AF} \cdot \vec{DE} = 0$なので、$\vec{AF}$と$\vec{DE}$は垂直である。したがって、線分AFと線分DEは垂直である。

3. 最終的な答え

線分AFと線分DEは垂直である。