画像にある数学の問題のうち、問4の(1)(2)(3)を解く。 * 問4(1): 直線 $l: \frac{x+4}{2} = \frac{-y+13}{7} = z-5$ を含み、かつ点$(-3, 5, 6)$を通る平面の方程式を$ax+by+cz+d=0$と表すとき、$b, c, d$の値を求めよ。 * 問4(2): 次の2つの条件を満たす球面$S$の中心の座標を求めよ。 * (i) 直線$l$上に中心を持ち、半径は10である。 * (ii) 平面$y=0$と球面$S$の交わりの円は面積$36\pi$であり、また平面$z=0$と球面$S$の交わりの円の面積も$36\pi$である。 * 問4(3): 平面$x-y=0$の法線ベクトルと直線$l$のなす角を$\theta$とする。$\cos\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題のうち、問4の(1)(2)(3)を解く。

* 問4(1): 直線 $l: \frac{x+4}{2} = \frac{-y+13}{7} = z-5$ を含み、かつ点$(-3, 5, 6)$を通る平面の方程式を$ax+by+cz+d=0$と表すとき、$b, c, d$の値を求めよ。

* 問4(2): 次の2つの条件を満たす球面$S$の中心の座標を求めよ。

* (i) 直線$l$上に中心を持ち、半径は10である。

* (ii) 平面$y=0$と球面$S$の交わりの円は面積$36\pi$であり、また平面$z=0$と球面$S$の交わりの円の面積も$36\pi$である。

* 問4(3): 平面$x-y=0$の法線ベクトルと直線$l$のなす角を$\theta$とする。$\cos\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

問4(1)

直線$l$をパラメータ表示する。$\frac{x+4}{2} = \frac{-y+13}{7} = z-5 = t$とおくと、

$x = 2t-4, y = -7t+13, z = t+5$となる。

平面$ax+by+cz+d=0$が直線$l$を含むので、

$a(2t-4)+b(-7t+13)+c(t+5)+d=0$が任意の$t$に対して成り立つ。

すなわち、$(2a-7b+c)t+(-4a+13b+5c+d)=0$より、

$2a-7b+c=0$かつ$-4a+13b+5c+d=0$が成り立つ。

また、平面$ax+by+cz+d=0$が点$(-3, 5, 6)$を通るので、

$-3a+5b+6c+d=0$が成り立つ。

３つの式から$a$を消去する。まず、$2a-7b+c=0$より$2a=7b-c$。

これを$-4a+13b+5c+d=0$に代入すると、$-2(7b-c)+13b+5c+d=0$より、$-14b+2c+13b+5c+d=0$すなわち、$-b+7c+d=0$

また、$-3a+5b+6c+d=0$に$a=\frac{7b-c}{2}$を代入すると、$-3(\frac{7b-c}{2})+5b+6c+d=0$より、$-\frac{21}{2}b+\frac{3}{2}c+5b+6c+d=0$、すなわち、$-\frac{11}{2}b+\frac{15}{2}c+d=0$、したがって、$-11b+15c+2d=0$

$-b+7c+d=0$より$d=b-7c$。これを$-11b+15c+2d=0$に代入すると、$-11b+15c+2(b-7c)=0$より$-11b+15c+2b-14c=0$、すなわち$-9b+c=0$なので、$c=9b$。

$c=9b$を$d=b-7c$に代入すると、$d=b-7(9b)=b-63b=-62b$。

したがって、$b=b, c=9b, d=-62b$となる。平面の方程式は$ax+by+cz+d=0$なので、$a$を消去するために$2a=7b-c=7b-9b=-2b$より$a=-b$となる。

したがって、$-bx+by+9bz-62b=0$となる。$b\ne 0$とすると、$-x+y+9z-62=0$、すなわち$x-y-9z+62=0$となる。

したがって、$b=-1, c=-9, d=62$となる。

問4(2)

球面$S$の中心を$(2t-4, -7t+13, t+5)$とおく。

球面$S$の半径は10なので、$(x-(2t-4))^2+(y-(-7t+13))^2+(z-(t+5))^2 = 10^2$となる。

平面$y=0$と球面$S$の交わりの円の面積は$36\pi$なので、その円の半径は6となる。

球面の中心から平面$y=0$までの距離は$\sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$である。

したがって、$|-7t+13| = 8$より、$-7t+13=8$または$-7t+13=-8$となる。

$-7t+13=8$のとき$-7t=-5$より$t=\frac{5}{7}$。$-7t+13=-8$のとき$-7t=-21$より$t=3$。

同様に、平面$z=0$と球面$S$の交わりの円の面積は$36\pi$なので、その円の半径は6となる。

球面の中心から平面$z=0$までの距離は$\sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$である。

したがって、$|t+5| = 8$より、$t+5=8$または$t+5=-8$となる。

$t+5=8$のとき$t=3$。$t+5=-8$のとき$t=-13$。

したがって、２つの条件を満たす$t$は$t=3$となる。

したがって、球面$S$の中心は$(2(3)-4, -7(3)+13, 3+5) = (6-4, -21+13, 8) = (2, -8, 8)$となる。

問4(3)

平面$x-y=0$の法線ベクトルは$\vec{n} = (1, -1, 0)$である。

直線$l$の方向ベクトルは$\vec{v} = (2, -7, 1)$である。

$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|} = \frac{|(1)(2)+(-1)(-7)+(0)(1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}\sqrt{2^2+(-7)^2+1^2}} = \frac{|2+7+0|}{\sqrt{2}\sqrt{4+49+1}} = \frac{9}{\sqrt{2}\sqrt{54}} = \frac{9}{\sqrt{108}} = \frac{9}{\sqrt{36 \times 3}} = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2(3)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる。

3. 最終的な答え

* 問4(1): $b=-1, c=-9, d=62$

* 問4(2): $(2, -8, 8)$

* 問4(3): $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$