3点 $A(-2, -1)$, $B(2, -3)$, $C(0, 3)$ を頂点とする三角形の外心の座標を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-2, -1)$, $B(2, -3)$, $C(0, 3)$ を頂点とする三角形の外心の座標を求める。

2. 解き方の手順

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。

まず、辺ABの垂直二等分線を求める。

ABの中点Mは $M = \left( \frac{-2+2}{2}, \frac{-1-3}{2} \right) = (0, -2)$。

ABの傾きは $m_{AB} = \frac{-3 - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$。

ABの垂直二等分線の傾きは $m = -\frac{1}{m_{AB}} = 2$。

よって、ABの垂直二等分線の方程式は $y - (-2) = 2(x - 0)$ より $y = 2x - 2$。

次に、辺BCの垂直二等分線を求める。

BCの中点Nは $N = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{-3+3}{2} \right) = (1, 0)$。

BCの傾きは $m_{BC} = \frac{3 - (-3)}{0 - 2} = \frac{6}{-2} = -3$。

BCの垂直二等分線の傾きは $m = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{3}$。

よって、BCの垂直二等分線の方程式は $y - 0 = \frac{1}{3}(x - 1)$ より $y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$。

2つの垂直二等分線の交点を求める。

$2x - 2 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

$6x - 6 = x - 1$

$5x = 5$

$x = 1$

$y = 2(1) - 2 = 0$

したがって、外心の座標は $(1, 0)$。

3. 最終的な答え

(1, 0)