(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ を満たす鋭角 $\theta$ の範囲を、選択肢の中から選ぶ問題。 (2) $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ が鋭角で $\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$、 $BC = \sqrt{3}$、$CA = 2$ であるとき、$\triangle ABC$ が鈍角三角形となる場合の $\sin \angle ABC$ の値と辺 $AB$ の長さを求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ を満たす鋭角 $\theta$ の範囲を、選択肢の中から選ぶ問題。

(2) $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ が鋭角で $\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$、 $BC = \sqrt{3}$、$CA = 2$ であるとき、$\triangle ABC$ が鈍角三角形となる場合の $\sin \angle ABC$ の値と辺 $AB$ の長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる $\theta$ の範囲を求める。

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\frac{3}{4} = 0.75$ なので、$\theta$ は $45^\circ$ より大きく $60^\circ$ より小さいことがわかる。

したがって、答えは4番の $45^\circ < \theta < 60^\circ$

(2) $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ が鋭角で $\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$、 $BC = \sqrt{3}$、$CA = 2$ とする。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{CA}{\sin \angle ABC}$ だから、

$\sin \angle ABC = \frac{CA \sin \angle BAC}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\angle ABC = 60^\circ$ または $\angle ABC = 120^\circ$。

$\triangle ABC$ が鈍角三角形なので、$\angle ABC > 90^\circ$。つまり、$\angle ABC = 120^\circ$。したがって、 $\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos \angle BAC$。

$\cos^2 \angle BAC + \sin^2 \angle BAC = 1$ より、$\cos^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\angle BAC$ は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

$3 = AB^2 + 4 - 2AB \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$3 = AB^2 + 4 - AB \sqrt{7}$

$AB^2 - \sqrt{7}AB + 1 = 0$

$AB = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{7 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC$において、$\angle ABC = 120^{\circ}$より、$\angle BAC < 60^{\circ}$. したがって、 $AB < BC = \sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{4}+\sqrt{1}}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} > \sqrt{\frac{9}{4}} > \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}$より小さい可能性があるので計算する必要がある。

$\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{7} \approx 2.646$

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2.646+1.732}{2} = \frac{4.378}{2} = 2.189 > \sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} = \frac{2.646-1.732}{2} = \frac{0.914}{2} = 0.457 < \sqrt{3}$.

$AB = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AB = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$