3辺の長さがすべて70より小さい整数で、かつ等差数列になっている三角形は何個あるか求める問題です。ただし、合同な三角形は区別しません。

1. 問題の内容

3辺の長さがすべて70より小さい整数で、かつ等差数列になっている三角形は何個あるか求める問題です。ただし、合同な三角形は区別しません。

2. 解き方の手順

三角形の3辺の長さを $a, a+d, a+2d$ とします。ここで、$a$ と $d$ は整数で、$a > 0$ かつ $d \geq 0$ であると仮定します。

三角形が成立するための条件（三角不等式）は、$a + (a+d) > a+2d$, $(a+d) + (a+2d) > a$, $a + (a+2d) > a+d$ です。

これらの不等式を整理すると、以下のようになります。

$2a+d > a+2d$ より $a > d$

$2a+3d > a$ より $a+3d > 0$ (これは $a > 0$ かつ $d \geq 0$ より常に成立)

$2a+2d > a+d$ より $a+d > 0$ (これは $a > 0$ かつ $d \geq 0$ より常に成立)

したがって、三角形の成立条件は $a > d$ となります。

また、3辺の長さはすべて70より小さいので、

$a < 70$, $a+d < 70$, $a+2d < 70$ が成立する必要があります。

$a > d$ より $a=d+1, d+2, \dots, 69-2d$ となります。また、$a+2d < 70$ なので、$a < 70 - 2d$ となります。

したがって、$d+1 \leq a \leq 69-2d$ でなければなりません。

ここで、$d$ の範囲を求めます。 $d+1 \leq 69-2d$ より、$3d \leq 68$ となり、$d \leq \frac{68}{3} = 22.66\dots$

$d$ は整数なので、$0 \leq d \leq 22$ となります。

$d$ を固定して、$a$ の取り得る個数を考えます。$a$ は $d+1$ 以上 $69-2d$ 以下の整数なので、$69-2d - (d+1) + 1 = 69 - 3d$ 個の可能性があります。

これらの合計は、

$\sum_{d=0}^{22} (68 - 3d) = \sum_{d=0}^{22} 68 - 3 \sum_{d=0}^{22} d = 68 \cdot 23 - 3 \cdot \frac{22 \cdot 23}{2} = 68 \cdot 23 - 3 \cdot 11 \cdot 23 = 23 (68 - 33) = 23 \cdot 35 = 805$

3. 最終的な答え

805