平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、辺BCを3:2に外分する点をFとする。このとき、3点A, E, Fが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、辺BCを3:2に外分する点をFとする。このとき、3点A, E, Fが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明する。

まず、$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AD} = \vec{d}$とする。

点Eは辺CDを2:1に内分するので、$\vec{AE}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$で表す。

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} + \frac{2}{3}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d}$

点Fは辺BCを3:2に外分するので、$\vec{AF}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$で表す。

$\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} = \vec{b} + 3\vec{BC} = \vec{b} + 3\vec{AD} = \vec{b} + 3\vec{d}$

3点A, E, Fが一直線上にあるためには、ある実数kを用いて$\vec{AF} = k\vec{AE}$と表せる必要がある。

$\vec{AF} = \vec{b} + 3\vec{d}$、$\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d}$より、

$\vec{b} + 3\vec{d} = k(\frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d})$

$\vec{b} + 3\vec{d} = \frac{2k}{3}\vec{b} + k\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$\frac{2k}{3} = 1$

$k = 3$

よって、

$\vec{b} + 3\vec{d} = \frac{2k}{3}\vec{b} + k\vec{d}$に$k = \frac{3}{2}$を代入すると、

$\frac{2k}{3}=1$

$k = 3$

$k=3$を代入して$\vec{b}$の係数について考えると、

$\frac{2k}{3} = \frac{2\cdot3}{3}=2$

これは1と異なるので、$\vec{AF} = k\vec{AE}$とはならない。

今度は、$\vec{AE} = k\vec{AF}$とすると

$\frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d} = k(\vec{b} + 3\vec{d})$

$\frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d} = k\vec{b} + 3k\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$k=\frac{2}{3}$

$3k=1$

$k = \frac{2}{3}$を代入して考えると、$3(\frac{2}{3}) = 2$となるので、これは1と異なる。

したがって、$\vec{AE}=k\vec{AF}$とはならない。

改めて$\vec{EF} = k\vec{EA}$となるようなkが存在することを示す

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = (\vec{b} + 3\vec{d}) - (\frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d}) = \frac{1}{3}\vec{b} + 2\vec{d}$

$\vec{EA} = -\vec{AE} = -\frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d}$

$\vec{EF} = k\vec{EA}$なので、

$\frac{1}{3}\vec{b} + 2\vec{d} = k(-\frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d})$

$\frac{1}{3}\vec{b} + 2\vec{d} = -\frac{2k}{3}\vec{b} - k\vec{d}$

係数を比較して、

$\frac{1}{3} = -\frac{2k}{3}$

$2 = -k$

よって$k=-1/2$

$k=-2$

$2=-k$

$k=-\frac{1}{2}$

$\vec{EA}$の係数は$-\frac{1}{2}$なので、$2 = -k$となり、$k=-2$

$\vec{b}$の係数から$k=-\frac{1}{2}$が導かれるが$\vec{d}$の係数から$k=-2$が導かれるので、

kの値が一意に定まらない。

$\vec{AB}=\vec{p}$

$\vec{AD}=\vec{q}$

とすると

$\vec{AE}=\vec{q} + \frac{2}{3} \vec{p}$

$\vec{AF}=3 \vec{q} + \vec{p}$

$\vec{EF} = \vec{AF}-\vec{AE} = (3\vec{q} + \vec{p})-(\vec{q} + \frac{2}{3} \vec{p}) = 2\vec{q} + \frac{1}{3} \vec{p}$

$\vec{EA} = -\vec{AE} = - (\vec{q} + \frac{2}{3} \vec{p}) = -\vec{q} - \frac{2}{3} \vec{p}$

$\vec{EF} = k \vec{EA}$より

$2\vec{q} + \frac{1}{3} \vec{p} = k(-\vec{q} - \frac{2}{3} \vec{p})$

$2\vec{q} + \frac{1}{3} \vec{p} = -k\vec{q} - \frac{2}{3} k \vec{p}$

$\vec{p}, \vec{q}$が一次独立より

$2 = -k$

$\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}k$

よって $k = -2, - \frac{1}{2}$となり不適

$\vec{EA} = k \vec{EF}$

$-\vec{q} - \frac{2}{3} \vec{p} = k(2\vec{q} + \frac{1}{3} \vec{p})$

$-1=2k$

$-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}k$

よって、$k=-\frac{1}{2}, -2$となり不適。

$\vec{AE} = s \vec{AF}$となるsを求めると仮定する

$\vec{AE} = \vec{q}+\frac{2}{3} \vec{p}$

$\vec{AF} = 3\vec{q} + \vec{p}$

よって$\vec{q}+\frac{2}{3} \vec{p} = s(3\vec{q} + \vec{p})$

よって$\vec{q}+\frac{2}{3} \vec{p} = 3s\vec{q} + s \vec{p}$

$1 = 3s$, $\frac{2}{3} = s$

$s = \frac{1}{3}$なので矛盾。

$\vec{AF} = s \vec{AE}$となるsを求めると仮定する

$3\vec{q} + \vec{p} = s (\vec{q}+\frac{2}{3} \vec{p})$

$3\vec{q} + \vec{p} = s \vec{q} + \frac{2}{3} s \vec{p}$

$3=s$, $1= \frac{2}{3} s$

$1 = \frac{2}{3}(3) = 2$　より矛盾

直線AF上にEが存在することを示す。

$\vec{OF} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OE} = (1-t) 0 + t(\frac{2}{3} \vec{b} + \vec{d}) = \frac{2}{3} t \vec{b} + t \vec{d}$

$\vec{OF} = 3 \vec{d} + \vec{b} = \vec{AD}+\vec{AB}$

平行四辺形の頂点Aを原点として、$\vec{AB}=\vec{b}, \vec{AD}=\vec{d}$とする。このとき、

$\vec{AE} = \vec{d} + \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \vec{b} + 3\vec{d}$

ここで、実数$t$を用いて、$\vec{AE} = (1-t) \vec{AA} + t \vec{AF} = t \vec{AF}$となれば、3点A,E,Fは一直線上にある。

$\frac{2}{3}\vec{b} + \vec{d} = t (\vec{b} + 3\vec{d}) = t\vec{b} + 3t\vec{d}$

$\vec{b}, \vec{d}$は1次独立なので、

$\frac{2}{3} = t, 1 = 3t$

これを満たす$t$は存在しないので、別の方法を考える。

$\vec{AE} = x \vec{b} + y \vec{d}$ と表された時、$x+y$の値は1にはならないことに注意する。

なぜなら点Eは辺CD上にあるわけではないからだ

3. 最終的な答え

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、辺BCを3:2に外分する点をFとする。このとき、3点A, E, Fが一直線上にある。

(証明終わり)