三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ である。辺BC, CA, ABを2:1に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。 (1) 点D, E, Fの位置ベクトル $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ をそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。 (2) 三角形DEFの重心の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ である。辺BC, CA, ABを2:1に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。

(1) 点D, E, Fの位置ベクトル $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ をそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。

(2) 三角形DEFの重心の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 内分点の公式を用いる。

点Dは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{d} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

点Eは辺CAを2:1に内分するので、

$\vec{e} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 2 \cdot \vec{a}}{2+1} = \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3}$

点Fは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{f} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

(2) 三角形DEFの重心の位置ベクトル $\vec{g}$ は、

$\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3}$

上記(1)で求めた $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ を代入する。

$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3} + \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} \right)$

$\vec{g} = \frac{1}{9} ( \vec{b} + 2\vec{c} + \vec{c} + 2\vec{a} + \vec{a} + 2\vec{b})$

$\vec{g} = \frac{1}{9} (3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$

$\vec{g} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{d} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

$\vec{f} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

(2)

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$