三角形ABCにおいて、三角形ABDの面積を$S_1$、三角形ADCの面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2 = a:b$ となることを説明し、$S_1:S_2 = a:b$の比例式を$S_1$について解く。ここで、$a=BD$, $b=DC$とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、三角形ABDの面積を$S_1$、三角形ADCの面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2 = a:b$ となることを説明し、$S_1:S_2 = a:b$の比例式を$S_1$について解く。ここで、$a=BD$, $b=DC$とする。

2. 解き方の手順

三角形ABDと三角形ADCは、点Aから辺BCに下ろした垂線（高さ）を共有している。この高さを$h$とする。

三角形の面積の公式は、（底辺）×（高さ）÷ 2 である。

三角形ABDの面積 $S_1$ は、

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

三角形ADCの面積 $S_2$ は、

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S_1 : S_2$を計算すると、

$S_1 : S_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h : \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

両辺に2を掛けて$h$で割ると、

$S_1 : S_2 = a : b$

したがって、$S_1:S_2 = a:b$が成り立つ。

次に、比例式 $S_1:S_2 = a:b$ を $S_1$ について解く。

比例式の性質より、$b S_1 = a S_2$

両辺を$b$で割ると、$S_1 = \frac{a}{b} S_2$

3. 最終的な答え

$S_1:S_2 = a:b$ となることの説明：

三角形ABDと三角形ADCは高さを共有しており、面積の比は底辺の比に等しい。

$S_1$ について解いた答え：

$S_1 = \frac{a}{b} S_2$