$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ の中点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ の中点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON}$

と表せる。$N$ は $OB$ の中点なので、$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB}$ である。

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s\frac{1}{2}\vec{b} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$ ...(1)

次に、点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

と表せる。$M$ は $OA$ を $2:1$ に内分する点なので、$\vec{OM} = \frac{2}{3}\vec{OA}$ である。

したがって、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ ...(2)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較して、

$1-s = \frac{2t}{3}$

$\frac{s}{2} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$\frac{s}{2} = 1-t$ より $s = 2-2t$

これを $1-s = \frac{2t}{3}$ に代入して、

$1-(2-2t) = \frac{2t}{3}$

$-1+2t = \frac{2t}{3}$

$2t - \frac{2t}{3} = 1$

$\frac{4t}{3} = 1$

$t = \frac{3}{4}$

$s = 2 - 2(\frac{3}{4}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

(1)に $s = \frac{1}{2}$ を代入して、

$\vec{OP} = (1-\frac{1}{2})\vec{a} + \frac{1/2}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$