問題は以下の2つのパートに分かれています。 (I) (1) 3つの平面 $x + 2y + z = 4$, $2x - y - z = 1$, $x + y - z = 4$ の交点の座標を求めよ。 (2) 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ が直線 $\frac{x+1}{2} = y + 3 = \frac{z-1}{2}$ から切り取る線分の長さが4となるように正の数 $r$ を定めよ。 (II) (1) 3点 A(2, 2, -2), B(0, 1, 3), P(x, y, z) について、点Pが AP = BP を満たしながら動くとき、点Pはある平面 $H_1$ 上に存在する。この平面 $H_1$ の方程式を $ax + by + cz - 1 = 0$ と表すとき、$a, b, c$ の値を答えよ。 (2) 点Pが(1)で述べた条件を満たし、かつ、平面 $H_2: x + y - 3z = 0$ 上に存在するとき、APを最小にする点Pの座標およびAPの最小値を答えよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つのパートに分かれています。

(I)

(1) 3つの平面 $x + 2y + z = 4$, $2x - y - z = 1$, $x + y - z = 4$ の交点の座標を求めよ。

(2) 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ が直線 $\frac{x+1}{2} = y + 3 = \frac{z-1}{2}$ から切り取る線分の長さが4となるように正の数 $r$ を定めよ。

(II)

(1) 3点 A(2, 2, -2), B(0, 1, 3), P(x, y, z) について、点Pが AP = BP を満たしながら動くとき、点Pはある平面 $H_1$ 上に存在する。この平面 $H_1$ の方程式を $ax + by + cz - 1 = 0$ と表すとき、$a, b, c$ の値を答えよ。

(2) 点Pが(1)で述べた条件を満たし、かつ、平面 $H_2: x + y - 3z = 0$ 上に存在するとき、APを最小にする点Pの座標およびAPの最小値を答えよ。

2. 解き方の手順

(I)

(1) 与えられた3つの平面の方程式を連立方程式として解きます。

$x + 2y + z = 4$ ...(1)

$2x - y - z = 1$ ...(2)

$x + y - z = 4$ ...(3)

(1)+(2)より $3x + y = 5$ ...(4)

(1)+(3)より $2x + 3y = 8$ ...(5)

(4)より $y = 5 - 3x$ を(5)に代入すると、

$2x + 3(5 - 3x) = 8$

$2x + 15 - 9x = 8$

$-7x = -7$

$x = 1$

$y = 5 - 3(1) = 2$

(1)に代入すると、

$1 + 2(2) + z = 4$

$1 + 4 + z = 4$

$z = -1$

したがって、交点の座標は (1, 2, -1) です。

(2) 直線 $\frac{x+1}{2} = y + 3 = \frac{z-1}{2}$ をパラメータ表示します。 $t$ をパラメータとすると、

$x = 2t - 1$

$y = t - 3$

$z = 2t + 1$

球面 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ と直線の交点は、

$(2t - 1)^2 + (t - 3)^2 + (2t + 1)^2 = r^2$

$4t^2 - 4t + 1 + t^2 - 6t + 9 + 4t^2 + 4t + 1 = r^2$

$9t^2 - 6t + 11 = r^2$

$9t^2 - 6t + (11 - r^2) = 0$

この二次方程式の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、2つの交点は

$(2t_1 - 1, t_1 - 3, 2t_1 + 1)$, $(2t_2 - 1, t_2 - 3, 2t_2 + 1)$ であり、

線分の長さは4なので、

$\sqrt{[2(t_1 - t_2)]^2 + (t_1 - t_2)^2 + [2(t_1 - t_2)]^2} = 4$

$\sqrt{4(t_1 - t_2)^2 + (t_1 - t_2)^2 + 4(t_1 - t_2)^2} = 4$

$\sqrt{9(t_1 - t_2)^2} = 4$

$3|t_1 - t_2| = 4$

$|t_1 - t_2| = \frac{4}{3}$

解と係数の関係より、

$t_1 + t_2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$t_1 t_2 = \frac{11 - r^2}{9}$

$(t_1 - t_2)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2 = (\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{11 - r^2}{9})$

$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{44 - 4r^2}{9}$

$\frac{16}{9} = \frac{4 - 44 + 4r^2}{9}$

$16 = -40 + 4r^2$

$56 = 4r^2$

$r^2 = 14$

$r = \sqrt{14}$

(II)

(1) AP = BP より、AP^2 = BP^2 です。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 4z + 4 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 6z + 9$

$-4x - 4y + 4z + 12 = -2y - 6z + 10$

$-4x - 2y + 10z + 2 = 0$

$2x + y - 5z - 1 = 0$

$2x + y - 5z = -1 * -1$

$-2x - y + 5z = 1$

よって、$a = -2, b = -1, c = 5$

(2) 点Pは平面 $H_1: -2x - y + 5z = 1$ 上にあり、平面 $H_2: x + y - 3z = 0$ 上にもあります。

直線 $L$ は、$H_1$ と $H_2$ の交線です。

$H_2$ より、$y = 3z - x$

$H_1$ に代入して、

$-2x - (3z - x) + 5z = 1$

$-2x - 3z + x + 5z = 1$

$-x + 2z = 1$

$x = 2z - 1$

$y = 3z - (2z - 1) = z + 1$

直線 $L$ をパラメータ表示すると、

$(x, y, z) = (2t - 1, t + 1, t)$

点A(2, 2, -2) と直線 $L$ 上の点P(2t-1, t+1, t) の距離 AP を最小にするtを求めます。

AP^2 = $(2t - 1 - 2)^2 + (t + 1 - 2)^2 + (t + 2)^2$

= $(2t - 3)^2 + (t - 1)^2 + (t + 2)^2$

= $4t^2 - 12t + 9 + t^2 - 2t + 1 + t^2 + 4t + 4$

= $6t^2 - 10t + 14$

これをtで微分すると、12t - 10 = 0, t = 5/6

AP^2 の最小値は $6(\frac{5}{6})^2 - 10(\frac{5}{6}) + 14 = 6(\frac{25}{36}) - \frac{50}{6} + 14 = \frac{25}{6} - \frac{50}{6} + \frac{84}{6} = \frac{59}{6}$

AP の最小値は $\sqrt{\frac{59}{6}} = \frac{\sqrt{354}}{6}$

点Pの座標は $(2(\frac{5}{6}) - 1, \frac{5}{6} + 1, \frac{5}{6}) = (\frac{5}{3} - 1, \frac{11}{6}, \frac{5}{6}) = (\frac{2}{3}, \frac{11}{6}, \frac{5}{6})$

3. 最終的な答え

(I)

(1) (1, 2, -1)

(2) $r = \sqrt{14}$

(II)

(1) $a = -2, b = -1, c = 5$

(2) Pの座標: $(\frac{2}{3}, \frac{11}{6}, \frac{5}{6})$ , APの最小値: $\frac{\sqrt{354}}{6}$