$\angle AOB$ の内部の点Pから、2辺OA, OBに垂線PD, PEをひく。$PD = PE$のとき、半直線OPは$\angle AOB$を2等分することを証明する。

1. 問題の内容

$\angle AOB$ の内部の点Pから、2辺OA, OBに垂線PD, PEをひく。$PD = PE$のとき、半直線OPは$\angle AOB$を2等分することを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ODP$と$\triangle OEP$において、以下のことが言えます。

* PDとPEはそれぞれOAとOBに対する垂線であるから、$\angle ODP = \angle OEP = 90^\circ$

* 仮定より $PD = PE$

* OPは共通

直角三角形において、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいならば、その二つの直角三角形は合同であるという定理を利用できます。

$\triangle ODP$と$\triangle OEP$は直角三角形であり、斜辺であるOPは共通で、$PD = PE$であるから、$\triangle ODP \equiv \triangle OEP$となります。

合同な図形では対応する角の大きさは等しいので、$\angle DOP = \angle EOP$となります。

したがって、半直線OPは$\angle AOB$を二等分します。

3. 最終的な答え

$\triangle ODP \equiv \triangle OEP$ より、$\angle DOP = \angle EOP$ となるため、半直線OPは$\angle AOB$を2等分する。