(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$となる鋭角 $\theta$ がどの範囲にあるか。(2) $\triangle ABC$ が鈍角三角形で、$\angle BAC$ が鋭角、$\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$, $BC = \sqrt{3}$, $CA = 2$のとき、$\sin \angle ABC$ の値と辺 $AB$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$となる鋭角 $\theta$ がどの範囲にあるか。(2) $\triangle ABC$ が鈍角三角形で、$\angle BAC$ が鋭角、$\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$, $BC = \sqrt{3}$, $CA = 2$のとき、$\sin \angle ABC$ の値と辺 $AB$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5$ であり、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$ である。$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$ である。$\sin \theta = \frac{3}{4} = 0.75$ なので、$\theta$ は $45^\circ < \theta < 60^\circ$ の範囲にある。したがって、(ア) には 4 が入る。

次に、sinθ = 3/4 のとき、θ の値が 30度であることを使ってよいかどうかが問題文からはっきりしません。もしこれがだめなら、sinθ = 3/4 のとき,

sin 45° = √2/2 ≒ 0.707, sin 60° = √3/2 ≒ 0.

8

6

6. 0.707 < 0.75 < 0.866 より 45 < θ < 60 。(イ) にも 4 が入る。

(2) $\angle BAC = A$ とおく。正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}$。

$BC = \sqrt{3}$, $CA = 2$, $\sin A = \frac{3}{4}$ なので、$\frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{\sin B}$。

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって、$B = 60^\circ$ または $B = 120^\circ$。$\triangle ABC$ が鈍角三角形なので、$B = 120^\circ$。

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$。

$(\sqrt{3})^2 = AB^2 + 2^2 - 2AB \cdot 2 \cos A$。

$3 = AB^2 + 4 - 4AB \cos A$。

$AB^2 - 4 \cos A \cdot AB + 1 = 0$。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\cos A = \pm \sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$。

$\angle BAC$ は鋭角なので、$\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$。

$AB^2 - 4 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} AB + 1 = 0$。

$AB^2 - \sqrt{7} AB + 1 = 0$。

$AB = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{(\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{7-4}}{2} = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{3}}{2}$。

$A+B+C = 180^\circ$ なので、$A+120^\circ+C=180^\circ$ より $A+C = 60^\circ$。$A < 60^\circ$ となるので、

$AB = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(ア) 4

(イ) 4

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$