三角形ABCにおいて、線分ADにより三角形ABDと三角形ADCに分割されている。三角形ABDの面積を$S_1$、三角形ADCの面積を$S_2$とする。線分BDの長さを$a$、線分DCの長さを$b$とするとき、$S_1 : S_2 = a : b$となることを説明し、この比例式を$S_1$について解く。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分ADにより三角形ABDと三角形ADCに分割されている。三角形ABDの面積を$S_1$、三角形ADCの面積を$S_2$とする。線分BDの長さを$a$、線分DCの長さを$b$とするとき、$S_1 : S_2 = a : b$となることを説明し、この比例式を$S_1$について解く。

2. 解き方の手順

* **$S_1 : S_2 = a : b$の説明:**

三角形ABDの面積$S_1$は、$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$で表される。

三角形ADCの面積$S_2$は、$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$で表される。

ここで、$h$は点Aから線分BCに下ろした垂線の長さである。

したがって、$S_1$と$S_2$の比は、

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot h} = \frac{a}{b}$となる。

よって、$S_1 : S_2 = a : b$が成り立つ。

* **比例式を$S_1$について解く:**

$S_1 : S_2 = a : b$は$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a}{b}$と書き換えられる。

両辺に$S_2$をかけると、$S_1 = \frac{a}{b}S_2$となる。

3. 最終的な答え

$S_1 : S_2 = a : b$となることの説明:

三角形ABDと三角形ADCは高さが等しく、それぞれの面積は底辺の長さに比例するため。

$S_1$について解いた式: $S_1 = \frac{a}{b}S_2$