3点 A(-2, -1), B(2, -3), C(0, 3) を頂点とする三角形の外接円の半径を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

3点 A(-2, -1), B(2, -3), C(0, 3) を頂点とする三角形の外接円の半径を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の各辺の長さを求めます。

$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(0-2)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$CA = \sqrt{(-2-0)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

三角形の外接円の半径 $R$ は、三角形の面積 $S$ と各辺の長さ $a, b, c$ を用いて、$R = \frac{abc}{4S}$ で求められます。

ヘロンの公式を用いて三角形の面積を計算します。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(2\sqrt{5}+\sqrt{10})(2\sqrt{5}+\sqrt{10}-2\sqrt{5})(2\sqrt{5}+\sqrt{10}-2\sqrt{10})(2\sqrt{5}+\sqrt{10}-2\sqrt{5})} = \sqrt{(2\sqrt{5}+\sqrt{10})(\sqrt{10})(2\sqrt{5}-\sqrt{10})(\sqrt{10})} = \sqrt{10(2\sqrt{5}+\sqrt{10})(2\sqrt{5}-\sqrt{10})} = \sqrt{10(4 \cdot 5 - 10)} = \sqrt{10(20-10)} = \sqrt{100} = 10$

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}}{4 \cdot 10} = \frac{8 \cdot 5 \cdot \sqrt{10}}{40} = \frac{40\sqrt{10}}{40} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{10}$