円 $C_1: x^2 + y^2 = 1$ に内接する正方形の面積を $a_1$ とする。次に、$a_1$の正方形に内接する円 $C_2$ を作成し、$C_2$ に内接する正方形の面積を $a_2$ とする。この手順を繰り返し、$n \geq 3$ に対して、$C_n$ に内接する正方形の面積を $a_n$ とする。このとき、無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

円 $C_1: x^2 + y^2 = 1$ に内接する正方形の面積を $a_1$ とする。次に、$a_1$の正方形に内接する円 $C_2$ を作成し、$C_2$ に内接する正方形の面積を $a_2$ とする。この手順を繰り返し、$n \geq 3$ に対して、$C_n$ に内接する正方形の面積を $a_n$ とする。このとき、無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ に内接する正方形の面積 $a_1$ を求める。$C_1$ の半径は 1 であるので、$C_1$ に内接する正方形の一辺の長さは $\sqrt{2}$ である。したがって、$a_1 = (\sqrt{2})^2 = 2$ である。

次に、$a_1$ の正方形に内接する円 $C_2$ の半径を求める。これは正方形の一辺の半分なので、$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

次に、$C_2$ に内接する正方形の面積 $a_2$ を求める。$C_2$ の半径が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$C_2$ に内接する正方形の一辺の長さは $1$ である。したがって、$a_2 = 1^2 = 1$ である。

一般に、円 $C_n$ の半径を $r_n$ とすると、$C_n$ に内接する正方形の面積 $a_n = (r_n \sqrt{2})^2 = 2 r_n^2$ である。

円 $C_{n+1}$ の半径 $r_{n+1}$ は、$C_n$ に内接する正方形の一辺の長さの半分なので、$r_{n+1} = \frac{r_n \sqrt{2}}{2} = \frac{r_n}{\sqrt{2}}$ である。

よって、$a_{n+1} = 2 r_{n+1}^2 = 2 (\frac{r_n}{\sqrt{2}})^2 = 2 \frac{r_n^2}{2} = r_n^2 = \frac{a_n}{2}$ となる。

したがって、数列 $\{a_n\}$ は、初項 $a_1 = 2$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は、等比級数の和の公式を用いて計算できる。

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^\infty a_n = 4$