直線 $x=2$ に接し、円 $(x+1)^2 + y^2 = 1$ と外接する円の中心Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x=2$ に接し、円 $(x+1)^2 + y^2 = 1$ と外接する円の中心Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円 $(x+1)^2 + y^2 = 1$ の中心をAとすると、Aの座標は $(-1, 0)$ であり、半径は $1$ です。

求める円の中心をP$(x, y)$、半径を$r$とします。

円Pが直線 $x=2$ に接するので、円Pの中心Pから直線 $x=2$ までの距離は半径$r$に等しくなります。

したがって、

$|x - 2| = r$

$r = |x - 2|$

円Pが円Aに外接するので、2つの円の中心間の距離PAは2つの円の半径の和に等しくなります。

$PA = r + 1$

$\sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = |x - 2| + 1$

$\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = |x - 2| + 1$

両辺を2乗します。

$(x + 1)^2 + y^2 = (|x - 2| + 1)^2$

$(x + 1)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + 2|x - 2| + 1$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + 2|x - 2| + 1$

$y^2 = -6x + 4 + 2|x - 2|$

場合分けをします。

(1) $x \geq 2$のとき、 $|x - 2| = x - 2$なので、

$y^2 = -6x + 4 + 2(x - 2)$

$y^2 = -6x + 4 + 2x - 4$

$y^2 = -4x$

$x = -\frac{1}{4}y^2$

しかし、$x \geq 2$の範囲ではこれは成立しません。

(2) $x < 2$のとき、 $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$なので、

$y^2 = -6x + 4 + 2(2 - x)$

$y^2 = -6x + 4 + 4 - 2x$

$y^2 = -8x + 8$

$y^2 = -8(x - 1)$

$-8(x - 1) = y^2$

$x = -\frac{1}{8}y^2 + 1$

この式は放物線を表しています。

3. 最終的な答え

求める軌跡は放物線 $x = -\frac{1}{8}y^2 + 1$ ($x < 2$)